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【理多人不怪】学来干什么/陈建文

几天前在迪士尼频道看了部2024的电影《听见颜色的女孩》（Out of My Mind），故事很感人，也乐于见到制作团队起用患有脑性麻痹的演员担当主角。不过最让我印象深刻的，还是电影里老师不断重复向学生发问“为什么我们要学习历史？”。我上学的年代是填鸭式教育最高峰时刻，大家都在赶进度追成绩，文科老师偶尔还能说说学习的意义，而只能通过补课完成考试范围的数理科老师，至多也只愿意丢一句“以后会用到”——虽然那个“以后”对很多人来说是下辈子。于是好奇心旺盛如我也只能透过想像力，把数理科目和现实世界连接起来，例如学习几何有助于找出密室的隐藏机关缉拿真凶；代数可以算出30人份年夜饭需要买多少猪牛羊鸡；统计学具有对染上赌博恶习的威慑功效；生物课让我知道身上某些恼人特征该找谁算账；物理课使桌球游戏或溪边打鱼变得更有效率；生活技能及化学课足以让自己被绑架时如MacGyver般逃出生天；唯独微积分这一科目，我一直无法与身边的日常联系上。除了高大上的行星轨道计算，或把阿尔忒弥斯II号送到月球背面，微积分和我们的生活究竟有什么关联呢？这问题即使在我完成大学工程系后也没能获得确切的解答，直到工作了好几年，才发觉普遍如温控壶、空调、咖啡机、洗衣机，复杂如硬盘、汽车巡航及无人机等，都有微积分在背后撑腰。这些摩登电器，都用了名为PID controller的控制装置。PID，是三个英文单词缩写：Proportional（比例）、Integral（积分）和Derivative（微分）；看吧，都直接把微积分三个字写到名字里了。 “比例”单元分析目标与当下之间的误差，再通过误差大小决定系统的“施力强度”。“积分”单元负责计算“累积误差”，若系统的累积误差长时间没有呈现下降趋势，单元就会指示系统微增施力强度。然而若只对比当下与目标的距离，单纯以累积误差去调整施力状况，系统大概率会出现超调（Overshoot）的情况，所以“微分”单元这个刹车器会以“变化速率”观察未来趋势，通过预判最终位置指示系统微降施力强度。大脑缺少的控制系统擧个例子：想像你在室温32度的房间打开空调，并设定风冷24度。8摄氏度的误差很大，“比例”单元便让系统吹出最强冷风；当温度降到28度，误差少了一半，风力就依序递减。当温度降到25度，误差变小导致比例单元的调整力度不足，或房内突然多了其他热源导致温度卡在某个区间无法达标时，“积分”单元就会通过累积误差让动力适当加码。一旦温度下降的速度变得太快可能超标，“微分”单元便会提前刹车，减缓冷风输出。各个单元便是如此交替轮转，直到系统达成目标的24摄氏度。没安装PID controller的旧式空调一般使用“起停式控制”（bang-bang control），功能只有“感测”、“开”和“关”。一开动，压缩机便全力运转直到感测到目标温度才停转，由于惯性因素，室温可能比目标低两三度，浪费了多余的能源。反过来，当传感器被触发再启动压缩机时，室温已回升到比目标高两三度了。这样来回反复的系统震荡发生在空调上只会影响舒适度及钱包，但若体现在汽车巡航或无人机操控就不太妙了（请自行想像）；所以一道完善的闭环控制系统，不能只看现在（P），还必须总结过去（I），并且预防未来（D）；这，就是微积分在日常生活中最贴题的应用。回到现实世界，偶尔会觉得很多人的大脑操控机制似乎也是砰砰式单元，只在乎当下一刻的误差，不瞻前也不顾后。看到梦想与现实有巨大差距时直接火力全开，过了一段时间觉得目标依旧遥远便颓然躺平；要不然就总是及时行乐，觉得偶尔偷闲作弊影响不大，却没发现过去大部分时间都一直活在当下；另一种极端则是对未来过分焦虑，斜杠人生、日夜兼差，永远埋头苦干，从不抬头张望。难道非要等到每个人的大脑都植入一个运作良好的PID控制器，懂得用P面对现实、用 I 审视过去，再用D预防爆肝，我们才能真正享受当下？最后，话都说到这份上了，如果仍然觉得这篇文章对理解微积分的学习意义帮助不大，至少下次孩子埋怨微积分又难又不知道要学来干什么时，大可先把冷气关了，再向孩子娓娓道来微积分的重要性。

2星期前

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